حسن عبدی

بررسی و تبیین برهان گودل

نوشته شده در تاریخ ۱۲:۱۷:۰۰ ۱۳۹۱/۰۹/۲۱ و در حوزه های منطق - ۰ نظر
بررسی و تبیین برهان گودل

«برهان گودل»۱ چیست؟ این برهان چگونه نظریة مبناگروى۲ در باب توجیه را به چالش مى‌گیرد؟ و آیا برهان گودل از عهدة نقد مبناگروى بر ‌می‌آید یا نه؟...

«برهان گودل»1 چیست؟ این برهان چگونه نظریة مبناگروى2 در باب توجیه را به چالش مى‌گیرد؟ و آیا برهان گودل از عهدة نقد مبناگروى بر ‌می‌آید یا نه؟ این سه پرسش‌هایی هستند که نوشتارحاضر در پى پاسخ‌گفتن به آنهاست. در مقدمه، نکات مقدماتى در باب تعریف رایج معرفت، مسئلة توجیه و نظریة مبناگروى را از نظر خواهید گذراند. بدنة اصلى مقاله تحت عنوان «مطالب» به سه بخش تقسیم شده که هر بخشى عهده‌دار پاسخ‌گویى به یکى از پرسش‌هاى سه‌گانه است. در بخش اول وجه مشترک میان همة تقریرهاى مبناگروى بیان شده است. در بخش دوم، طی دوازده مرحله برهان گودل تبیین شده، و سرانجام در بخش سوم، چهار پاسخ به برهان گودل مطرح گردیده است. در بخش نتیجه‌گیرى نیز خلاصه‌اى از نتایج مقاله ارائه شده است.

کلید واژه‌ها: توجیه، مبناگروى، برهان گودل، قضیة عدم تمامیت.

 

1. مقدمه

از زمان افلاطون به این سوی، اکثر فیلسوفان معرفت را به «باورِ صادقِ موجه» تعریف کرده‌اند.3 اگرچه تا مدت‌ها فیلسوفان از کنار این تعریف به راحتی مى‌گذشتند در چند دهة اخیر نقد و بررسى هر یک از عناصر این تعریف در کانون توجه معرفت‌شناسان قرار گرفته است. از جمله عناصر سه‌گانة این تعریف عنصر «توجیه» است. کلیدى و بنیادین بودن بحث توجیه سبب شده تا حجم زیادى از کتاب‌هاى معرفت‌شناسى به بررسى و نقد معیار توجیه اختصاص یابد. امروزه در پاسخ به این پرسش که «معیار موجه بودن معرفت چیست؟» دیدگاه‌هاى مختلفى مطرح مى‌شود که رایج‌ترین آنها نظریة مبناگروى و نظریة انسجام‌گرایى است.4 از میان این دو نظریه مبناگروی بیشتر کانون توجه بوده و مى‌توان پیشینة آن را در یونان باستان و به‌ویژه در اندیشه‌های ارسطو پى‌گرفت.5

به هر حال پیشینة مبناگروى هیچ گونه مصونیتى براى آن به همراه نداشته و در کتاب‌هاى معرفت‌شناسى نقدهاى مختلفى بر آن وارد شده است. با مطالعة کتاب‌ها و مقالاتى که در زمینة معرفت‌شناسى نگارش یافته با نقدها و اشکال‌هاى مختلفى روبه‌رو مى‌شویم. از جملة این نقدها ایرادى است که کورت گودل ِریاضى‌دان و منطق‌دان در قالب برهان ریاضى بر این نظریه وارد کرده است.6 در باب این نقد نکته‌اى حاشیه‌اى نیز وجود دارد که بر پیچیدگى آن افزوده است. در موارد متعددى نویسندگان تنها به بیان این مطلب بسنده کرده‌اند که برهان گودل نقدى جدى بر نظریة مبناگروى به شمار می‌آید و به بهانة «دشوارى فهم آن» از پرداختن به تبیین و توضیح برهان گودل پرهیز کرده یا حداکثر خوانندگان را به کتاب‌هاى دیگر راه‌نمایى کرده‌اند.7 از این روی، معمولاً این دو پرسش همواره خاطر خوانندگان این گونه آثار را به خود مشغول داشته است: اوّلا،ً مفاد و محتواى برهان گودل چیست. ثانیاً، این برهان چگونه نظریة مبناگروى را به چالش مى‌گیرد؟
2. مطالب

نخست تصویرى از مبناگروى مطرح خواهیم ساخت و در ادامه مى‌کوشیم تا به تصورى روشن از برهان گودل دست یابیم. سپس در بخش سوم به این مسئله مى‌پردازیم که آیا مى‌توان این برهان را نقدى بر مبناگروى به شمار آورد یا نه؟

1ـ2. تبیین مبناگروى

بیان مفصل دیدگاه مبناگروى و پرداختن به تقریرهاى گوناگونى که از آن ارائه شده در راستاى اهداف این مقاله نیست. بنابراین تنها به طرح عصارة این دیدگاه که به نظر مى‌رسد در همة تقریرها مشترک باشد بسنده مى‌شود. مبناگروى به دیدگاهى اطلاق مى‌شود که در میان مجموعة باورها، گزاره‌ها معرفت‌ه بر حسب تعبیرهاى مختلفى که نویسندگان به کار برده‌اند دسته‌اى را با نام باورها، گزاره‌ها یا معرفت‌هاى پایه مشخص مى‌سازد و دیگر موارد را باورها، گزاره‌ها یا معرفت‌هاى غیر پایه مى‌نامد، و مدعى است که دستة دوم توجیه خود را از ابتنا بر دستة نخست کسب مى‌کنند. پس با فرض اینکه Q, P و r نماد براى گزاره و S نماد براى فاعل شناسا باشد مى‌توان گفت که عصارة دیدگاه مبناگروى از این قرار است:

    1. S باور دارد به P.
    2. باورS به P یا

        a/2. خود ‌موجه است؛ یعنى باور S به P نیاز به توجیه ندارد. ]: باورهاى پایه[
        b/2. خود‌ ‌موجه نیست؛ یعنى باور S به P بر اساس باور او به q توجیه شده است. ]: باورهاى غیر پایه[

    3. باورS به q یا

        a/3. خود‌ موجه است؛ یعنى باور S به q نیاز به توجیه ندارد.
        b/3. خود‌ موجه نیست؛ یعنى باورS به q بر اساس باور او به r توجیه شده است.

    4. مجموعة باورهاى غیر خود ‌موجه S بر باورهاى خود‌ـ ‌موجه او مبتنى هستند.8

2ـ2. تبیین برهان گودل

در آستانة تبیین این برهان توجه به دو نکته بجا خواهد بود. نکته اول اینکه اصل مقالة گودل به زبان آلمانى است، و به دلیل دشوارى آن، برخى کوشیده‌اند با إعمال تغییراتى، از دشوارى آن بکاهند. تقریرهاى مختلفى را مى‌توان تحت عنوان برهان گودل یافت. در این مقام ما به بیان تقریرى خواهیم پرداخت که با وجود سادگى چندان از محتواى مقاله گودل فاصله نگرفته باشد.9 نکته دوم اینکه براى سهولت کار آن را در دوازده مرحله بیان مى‌کنیم و البته مانند هر برهان دیگرى پذیرش نتیجة نهایى منوط به پذیرش یک یک مقدمات آن است و هر گونه تردید در یکى از مقدمات نتیجه را از اعتبار خواهد انداخت.

گودل با استفاده از منطق ریاضی نشان می‌دهد با فرض دستگاهی که گزاره‌های آن با استفاده از روش تأسیس اصل به اصول و قضایا تقسیم شده باشند، همیشه قضیه یا قضایایی به دست می‌آید که هم خود آنها و هم نقیضشان را می‌توان از اصول استنتاج کرد، و در نتیجه دستگاه مذبور ناسازگار است.10

1ـ2ـ2. مرحلة اول

در منطق ریاضی، قواعد را با استفاده از نمادهایی بیان می‌کنند. در یک تقسیم، این نمادها بر دو قسم اند: نمادهای ثابت و نمادهای متغیر. نمادهای ثابت خود به دو دسته تقسیم می‌شوند: ادوات منطقی و نشانه‌های نقطه‌گذاری. نمادهای متغیر نیز سه دسته‌اند: متغیرهای عددی، که جایگزین اعداد می‌شوند؛ متغیرهای جمله‌ای، که به جای فرمول‌ها می‌نشینند؛ و متغیرهای محمولی، که جایگزین محمولات می‌شوند. گودل در ارائة استدلال خود از این نمادها بهره می‌گیرد. این نمادها عبارت‌اند از:

    1. نمادهای ثابت:

        ادوات منطقی: $ É Ú ~ = S o؛
        نشانه‌های نقطه‌گذاری: نمادِ ( ، نمادِ ) و نمادِ , ؛

    2. نمادهای متغیر:

        متغیرهای عددی: x ، y ، z ؛
        متغیرهای جمله‌ای: p ، q ، r ؛
        متغیرهای محمولی: P ، Q ، R.

2ـ2ـ2. مرحلة دوم

گودل در گام بعد برای هر یک از این نمادها عدد منحصر به فردی در نظر می‌گیرد. شیوه‌ای که او برای تعیین عدد هر یک از نمادها برگزید به این صورت بود که برای نمادهای ثابت، به ترتیب، عددهای یک تا ده، و برای نمادهای متغیر عددی، به ترتیب، عددهای اول بزرگ‌تر از ده، و برای نمادهای متغیر جمله‌ای، به ترتیب، عددهای اول بزرگ‌تر از ده با توان دو، و برای نمادهای متغیر محمولی، به ترتیب، عددهای اول بزرگ‌تر از ده با توان سه را معین کرد:

1. نمادهای ثابت:
ادوات منطقی:  ~  Ú  É  $  =  O  S
عدد اختصاصی:  1  2  3  4  5  6  7
نشانه‌های نقطه‌گذاری:  )  (  ,
عدد اختصاصی:  8  9  10

2. نمادهای متغیّر:
متغیرهای عددی:  x  y  Z
عدد اختصاصی:  11  13  17
متغیرهای جمله‌ای:  p  q  r
عدد اختصاصی  112  132  172
متغیرهای محمولی:  P  Q  R
عدد اختصاصی:  113  133  173

3ـ2ـ2. مرحلة سوم

با چنین شیوه‌ای می‌توان برای هر یک از اجزای یک فرمول منطقی یک عدد اختصاصی در نظر گرفت. برای مثال عدد اجزای این فرمول عبارت است از:

( p Ú p ) É p

112 3 9 112 2 112 8

4ـ2ـ2. مرحلة چهارم

در مرحلة بعد گودل برای پرهیز از پیچیدگی استدلال شیوه‌ای در پیش گرفت که بر اساس آن به هر فرمولی تنها یک عدد منحصر به فرد نسبت داده شود. او برای این‌کار نخست به هر یک از اجزای فرمول به ترتیب یکی از عددهای اول را نسبت داد:

( p Ú p ) É p

17 13 11 7 5 3 2

5ـ2ـ2. مرحلة پنجم

گودل سپس عددهایی را که در مرحلة قبل به هر یک از اجزا نسبت داده بود توان این عددهای اوّل در نظر گرفت:

( p Ú p ) É p

2

1711 133 119 711 52 311 28

6ـ2ـ2. مرحلة ششم

در ادامه حاصل‌ضرب این عددها در یکدیگر را عدد منحصر به فرد آن فرمول به حساب آورد:

2

x = 1711 × 133 × 119 × 711 × 52 × 311 × 28

در اینجا برای روشن شدن نحوة کار گودل فرمول زیر را که مفاد آن چنین است شماره‌گذاری می‌کنیم.«صفر مساوی صفر است»

o = o.1

6 5 6.2

5 3 2.3

56 35 26.4

56 × 35 × 26.5

15625 × 243 × 64.6

243000000.7

بنابراین عدد گودل فرمول o = o عبارت است از: 243000000.

نکته‌ای که در این زمینه نباید از نظر دور داشت این است که هر عدد صحیحی عدد گودل نیست. برای نمونه عدد 100 نه کوچک‌تر از 10 است تا عدد گودل یکی از نمادهای ثابت باشد و نه عدد اول بزرگ‌تر از 10، تا عدد گودل یکی از متغیرهای عددی باشد، و نه توان دوم عدد اول بزرگ‌تر از 10 است تا عدد گودل یکی از متغیرهای جمله‌ای باشد، و نه توان سوم عدد اول بزرگ‌تر از 10 است، تا عدد گودل یکی از متغیرهای محمولی باشد. افزون بر این با تجزیة عدد 100 به 22×52 می‌رسیم، که ضرب عددهای اول متوالی نیست. از این روی، عدد 100 عدد گودل نیست.

7ـ2ـ2. مرحلة هفتم

گودل پس از شماره‌گذاری نمادها و فرمول‌ها با استفاده از روابط میان اعداد، روابط میان عبارت‌های ریاضی و منطقی را تبیین کرد. برای مثال یکی از روابط میان اعداد ریاضی «فاکتور بودن» است. برای نمونه 2 یکی از فاکتورهای عدد 20 است. گودل با توجه به رابطة «فاکتور بودن» میان اعداد چنین نتیجه گرفت که هر گاه یکی از اعداد گودل فاکتور عدد گودل دیگر باشد، عبارت متناظر با عدد نخست نیز فاکتور عبارت متناظر با عدد دوم خواهد بود. برای مثال عددِ گودل 64 فاکتور عددِ گودل 243000000 است. بنابراین عبارت متناظر با عدد 64 فاکتور عبارت متناظر با عدد 243000000 خواهد بود. برای نشان دادن این رابطه، هر یک از دو عدد مذبور را به اعداد اول تجزیه می‌کنیم بنابراین خواهیم داشت:

1. 64 243000000 (1)

2. 26 15625 × 243 × 64 (2)

3. 2 56 × 35 × 26 (3)

4. 6 56 35 26 (4)

5. o 5 3 2 (5)

6 5 6 (6)

o = o (7)

به این ترتیب می‌بینیم که o فاکتوری برای عبارت o = o است.

یکی دیگر از رابطه‌های میان عبارت‌های ریاضی و منطقی، رابطة «برهان بودن» است. فرض کنید فرمولی داریم که عدد گودل آن x است، و فرمول دیگری داریم که عدد گودل آن z است. وقتی رابطة فرمول اول را با فرمول دوم بررسی می‌کنیم در می‌یابیم که فرمول x برهانی بر اثبات فرمول z است. طبق روش گودل می‌توان برای رابطة «برهان بودن» نمادی در نظر گرفت و برای نماد مذبور نیز طبق روش شماره‌گذاری گودل عددی اختصاص داد. بنابراین هر گاه میان یکی از اعداد گودل و عدد گودل دیگری رابطة برهان بودن برقرار بود، می‌توان نتیجه گرفت که میان عبارت‌های متناظر با آنها نیز چنین رابطه‌ای برقرار است. رابطة مذبور را می‌توان به این صورت نمایش داد: Dem (x,z)

این عبارت Dem مخفف demonstration، به معنای برهان است، و مفاد عبارت این است که فرمولی با عدد گودل x برهانی بر فرمولی با عدد گودل z است، یا مفاد عبارت ~Dem (y,z) آن این است که فرمولی با عدد گودل y برهانی بر فرمولی با عدد گودل z نیست.

8ـ2ـ2. مرحلة هشتم

گودل در ادامه، روش شماره‌گذاری خود را به احکام فوق ریاضی نیز گسترش داد. احکامی را فوق ریاضی می‌خوانند که نه ناظر به اعداد، بلکه ناظر به عبارت‌های ناظر به رابطة میان اعداد هستند. برای نمونه این فرمول را در نظر بگیرید: ($ x ) ( x =s y).

معنای این فرمول آن است که یک x وجود دارد به طوری که x تالی y است، و در واقع مفاد آن این است که هر عددی یک تالی دارد. عدد گودل این عبارتِ ناظر به رابطة میان اعداد عبارت است از:

( $ x ) ( x = s y )

9 13 7 5 11 8 9 11 4 8.1

29 23 19 17 13 11 7 5 3 2.2

299 2313 197 175 1311 118 79 511 34 28 .3

299 × 2313 × 197 × 175 * 1311 × 118 × 79 × 511 × 34 × 28 .3

در اینجا با توجه به بیش از اندازه بزرگ بودن عدد گودل فرمول مذبور و برای سهولت در کار، این عدد را m می‌خوانیم. حال گودل فرمول جدیدی مطرح می‌سازد که حکمی را دربارة فرمول با عدد گودل m بیان می‌کند. گودل برای اینکه نشان دهد فرمول جدید شامل حکمی دربارة فرمول قبلی است و در واقع یک حکم فوق ریاضی را بیان می‌کند نماد m را جایگزین نماد y در فرمول قبلی می‌سازد. به این صورت:

1.( $ x ) ( x = s y )

2.( $ x ) ( x = s m )

این فرمول جدید نیز دارای عدد گودل خاص خود است که می‌توان بر اساس شیوة شماره‌گذاری گودل عدد آن را محاسبه کرد. گودل برای آنکه نشان دهد یک فرمول حکم فوق ریاضی را بیان می‌کند از عبارتSub (m,13,m) استفاده کرد. در این عبارت Sub مخفف substitute به معنای جانشین است، و مفاد عبارت این است که عدد خاصی عدد گودل یک فرمول است که از فرمول دیگر با عدد m از طریق جانشینی نماد m به جای متغیری با عدد گودل 13 (:y) به دست آمده است.

9ـ2ـ2. مرحلة نهم

گفتیم که فرمول ~Dem (x,z) حکمی فوق ریاضی را به این مضمون بیان می‌کند: رشته‌ای از فرمول‌ها با عدد گودل x برهانی برای فرمولی با عدد گودل z نیست. حال پیشوند (x) را به فرمول مذبور می‌افزاییم. در این صورت خواهیم داشت: ~Dem (x,z) (x). مفاد این فرمول چنین است: «برای هر رشته‌ای از فرمول‌ها که عدد گودل آن x است یک برهان برای فرمولی با عدد گودل z نیست». حال به جای نماد z در این فرمول، فرمول دیگری قرار می‌دهیم. این فرمول همان است که پیش‌تر آن را به این صورت نمایش دادیم: Sub (y,13,y). در نتیجه خواهیم داشت:

) z (x, ~Dem (x).1

Sub (y,13,y).2

~Dem (x, Sub (y,13,y)) (x).3

حال فرمولی به دست آورده‌ایم که دربارة فرمول دیگری است و مفاد آن این است که «برای x، رشته‌ای از فرمول‌ها که عدد گودل آن x است، یک برهان برای فرمولی با عدد گودل Sub (y,13,y) نیست» یا به تعبیر دیگر «فرمولی با عدد گودل y قابل اثبات نیست». ولی از آنجا که به هر روی، این فرمول به دست آمده «فرمول» است، عدد گودل خاصی خواهد داشت و می‌توان به روش پیش‌گفته عدد گودل آن را به دست آورد. در اینجا برای سهولت کار فرض می‌کنیم که عدد گودل آن nاست. بنابر مطالب مطرح شده در مرحلة هشتم عدد n را جانشین نماد متغیر y می‌سازیم. بنابراین خواهیم داشت:

~Dem (x, Sub (y,13,y)) (x).1

n.2

~Dem (x, Sub (n ,13, n )) (x).3

مفاد این فرمول آن است که «برای x، رشته‌ای از فرمول‌ها که عدد گودل آن x است، یک برهان برای فرمولی با عدد گودل Sub (n ,13, n ) نیست». نکتة مهم این است که اگر گودل بتواند نشان دهد عدد فرمول (3) نیز همان Sub (n ,13, n ) است، مفاد عبارت (3) آن خواهد بود که «برای x، رشته‌ای از فرمول‌ها که عدد گودل آن x است، برهانی برای خود این فرمول نیست.» به تعبیر دیگر فرمول مذبور می‌گوید: «این فرمول (یعنی خودش) قابل اثبات نیست». اما گودل چگونه نشان می‌دهد که عدد فرمول (3) نیز همان Sub (n ,13, n ) است. پاسخ این پرسش را در مرحلة دهم پی می‌گیریم.

10ـ2ـ2. مرحلة دهم

این مرحله مهم‌ترین مرحله در برهان گودل است. او می‌کوشد تا به این پرسش پاسخ دهد که چرا عدد فرمول (3) نیز همان Sub (n ,13, n ) است. پاسخ وی این است که در مرحلة نهم و بنابر روش عددگذاریِ فرمول‌های احکام فوق ریاضی نشان دادیم که فرمولی داریم به این صورت:

~Dem (x, Sub (y,13,y)) (x) (3)

که مفاد آن عبارت است از اینکه «برای x، رشته‌ای از فرمول‌ها که عدد گودل آن x است، یک برهان برای فرمولی با عدد گودل Sub (y,13,y) نیست» یا به تعبیر دیگر «فرمولی با عدد گودل y قابل اثبات نیست.» و این فرمول عدد گودل خاصی دارد که ما برای سهولت کار فرض می‌کنیم آن عدد nاست. نکتة مهم این است که این عددْ عددِ هر فرمولی است که مفاد آن عبارت باشد از «فرمولی با عدد گودل y قابل اثبات نیست». از این روی، عدد n هم عددِ فرمول Sub (n ,13, n ) است و هم عددِ فرمول ~Dem (x, Sub (n ,13, n )) (x)، بنابراین عددِ هر دو فرمول یکی است.

11ـ2ـ2. مرحلة یازدهم

نتیجه‌ای که از مراحل ده‌گانة بالا به دست می‌آید این است که با فرض هر مجموعه‌ای از گزاره‌ها همیشه یک گزاره وجود خواهد داشت که نه جزو اصول است و نمی‌توان آن را از اصول استنتاج کرد؛ زیرا همیشه گزاره‌ای خواهیم داشت که می‌گوید: «برای x، رشته‌ای از فرمول‌ها که عدد گودل آن x است، یک برهان برای فرمولی با عدد گودل Sub (y,13,y) نیست». به تعبیر دیگر «فرمولی با عدد گودل y قابل اثبات نیست» و به عبارت واضح‌تر «من گزاره‌ای هستم که نه جزو اصول هستم و نه از گزاره‌های دیگر قابل استنتاج نیستم». می‌دانیم که حتی همین نتیجه نیز ادعای مبناگرا را به چالش می‌گیرد؛ این ادعا را که «باورهای یک مجموعه، از دو حال‌ خارج نیست؛ یا باوری است که جزو اصول به حساب می‌آید یا باوری است که از اصول قابل استنتاج است». لیکن گودل برهان خود را گسترش می‌دهد و به نتیجه‌ای ویران‌گرتر می‌رسد.

12ـ2ـ2. مرحلة دوازدهم

گودل در مرحلة یازدهم نشان داد که فرمولی ناظر به یک حکم فوق ریاضی، با این مفاد داریم: «فرمولی با عدد گودل y قابل اثبات نیست». به عبارت واضح‌تر «من گزاره‌ای هستم که نه جزو اصول هستم و نه از گزاره‌های دیگر قابل استنتاج نیستم». اجازه دهید که ما این گزاره را G بنامیم.

حال گودل می‌گوید اگر کسی ادعا کند که گزارة G را می‌توان از اصول استنتاج کرد، در پاسخ با استفاده از این قاعدة منطق ریاضی که می‌گوید: «از هر قضیه‌ای می‌توان نقیض آن را نتیجه گرفت» یا به عبارت دیگر «p مستلزم ~p است» (:~p É p ) می‌توانیم این گونه نتیجه بگیریم که اگر G آن گاه ~G. بنابراین با فرض هر مجموعه‌ای از گزاره‌ها همیشه گزاره‌ای وجود دارد که هم می‌توان آن را از اصول استنتاج کرد و هم می‌توان نقیض آن را از اصول استنتاج کرد! بنابراین ادعای مبناگرا که «باورهای پایه باورهایی هستند که خود موجه‌اند و باورهای غیر پایه برای موجه شدن باید از باورهای پایه و بر اساس استنتاج به دست آیند» نادرست است؛ زیرا هم می‌توان باور به گزارة G را بر اساس باورهای پایه توجیه کرد و هم باور به گزارة ~G را!11

3ـ2. بررسى برهان گودل

واکنش نویسندگان غربى به پیام این برهان متفاوت بوده است: در حالى که عده‌اى آن را نادیده انگاشته و بسادگى از کنار آن گذشته‌اند، گروهی دیگر که بیشتر منتقدان مبناگروى بشمار می‌آیند با اشاره‌اى اجمالى به نتیجة برهان، از آن در جهت تضعیف موضع مبناگرایان سود برده‌اند؛ و در این میان معدود کسانى را مى‌توان یافت که در صدد پاسخ‌گویى بر آمده باشند. در این بخش پاره‌اى از پاسخ‌ها در دفاع از مبناگروى و در ردّ برهان را از نظر مى‌گذرانیم.

1ـ3ـ2. پاسخ اول

در پاسخ اول گفته‌اند که بر اساس برهان گودل مبناگرایان از عهده اثبات همه گزاره‌هاى خود ناتوان اند؛ در حالى که براى مبناگرا همین کافى است که اغلب گزاره‌هاى خود را اثبات کند؛ به‌ویژه آنکه گزاره‌هاى اثبات ناپذیر گونة خاصى از گزاره‌هایند؛ یعنى گزاره‌هایى که ناظر به خود12 هستند. بنابراین برهان گودل چالشى جدى به شمار نمى‌آید.13

بررسى

به نظر مى‌رسد این پاسخ دو ضعف عمده دارد: اول اینکه در واقع اشکال گودل را پذیرفته است نه اینکه آن را رد کرده باشد. از این روی، غیر مستقیم مفاد برهان را تأیید کرده است؛ دیگر اینکه گودل مى‌تواند در دفاع از خود مدعى شود اگر همیشه احتمال وجود گزارة صادقی در میان مجموعة گزاره‌ها وجود داشته باشد که هم خود گزاره و هم نقیض آن از گزاره‌هاى پایه قابل استنتاج باشد، آن گاه در بارة هر گزاره‌اى از گزاره‌هاى این مجموعه با چنین احتمالى مواجه خواهیم بود، و همین امر بنیان یقین و باور ما را به صدق همة گزاره‌هاى این مجموعه متزلزل خواهد ساخت.

2ـ3ـ2.پاسخ دوم

در پاسخ دوم بر تعداد محدود گزاره‌های مورد نظر گودل تأکید شده است. اگرچه گزاره‌هایى که هم خود آنها و هم نقیض آنها از گزاره‌هاى پایه قابل استنتاج هستند پیوند عمیقى با معرفت‌شناسى دارند، شمار آنها زیاد نیست. افزون بر این اغلب چنین گزاره‌هایى یا به نحو شگفت‌آورى صادق‌اند، مانند «من راست مى‌گویم» یا بى‌معنا هستند، مانند «من دروغ مى‌گویم»، و آن گزاره‌هایى که ناظر به خود نظام شناختارىاند و گویاى مطلبى هستند که براى مثال ناظر به انسجام آن نظام است آن چنان هم که به نظر مى‌رسد مبناگرا را در تنگنا قرار نمى‌دهند؛ زیرا هرچند من نتوانم انسجام نظام باورهاى خود را اثبات کنم و شما هم نتوانید از عهده اثبات نظام باورهاى خود بر آیید، شما مى‌توانید انسجام نظام باورهاى من را اثبات کنید و من هم می‌توانم انسجام نظام باورهاى شما را اثبات کنم. بنابراین من این توانایى را دارم که همة گزاره‌هاى نظام باور فرد دیگرى را اثبات کنم.14

بررسى

به نظر مى‌رسد اولا،ً در این پاسخ نیز مفاد و نتیجة برهان گودل پذیرفته شده است؛ زیرا ادعاى گودل چیزى بیش از این نیست که همیشه گزاره‌ای وجود دارد که هم خود آن گزاره و هم نقیض آن‌ قابل استنتاج از گزاره‌هاى پایه است؛ اگرچه ما نتوانیم معین کنیم که این گزاره کدام یک از گزاره‌هاى مجموعة باورهاى ماست؛ ثانیا،ً همان گونه که در آغاز این نوشتار اشاره کردیم، در تلقى رایج، معرفت عبارت است از «باور صادق موجه». از این روی، لذا معرفت همیشه عنصر باور را با خود به همراه دارد و با توجه به این که باور امرى است که قائم به شخص باورکننده است دیگر نمى‌توان از ناموجّه بودن گزاره‌اى که من به آن باور دارم نزد خود و موجّه بودن آن نزد دیگران سخن به میان آورد.

3ـ3ـ2. پاسخ سوم

در پاسخ سوم بر اهداف معرفت‌شناسى به عنوان معیارى براى ارزیابى برهان گودل تأکید شده است. اصولاً معرفت‌شناسان از طرح مسائل معرفت‌شناختى اهدافى را دنبال مى‌کنند؛ از جمله طرح و اثبات یا رد ادعاهایى نظیر چیستى معرفت، و امکان معرفت، رابطة هر معرفتى در قبال دیگر معرفت‌ها. حال اگرچه نتوان همه گزاره‌هاى صادق را اثبات کرد و نشان داد چنین نیست که هم خود آن گزاره‌ها و هم نقیض آنها از گزاره‌هاى پایه قابل استنتاج‌اند، می‌توان آنها را صورتبندى و نقادى کرد، و براى اثبات یا ردشان دلیل آورد و همین، براى اهداف معرفت‌شناس کافى است.15

بررسى

به نظر مى‌رسد که اولاً در این پاسخ نیز مانند دو پاسخ پیشین اشکال گودل پذیرفته شده است، و به این ترتیب دیگر جایى براى بحث از اهداف معرفت‌شناسى باقى نمى‌ماند؛ زیرا به گمان گودل برهان وى ویران‌کنندة هر نظام معرفتی‌ای است که در سایة دیدگاه مبناگروى شکل گرفته باشد. در این صورت چگونه مى‌توان از اهداف معرفت‌شناسى دم زد در حالى که پایه و مبنایى براى پذیرش آنها وجود ندارد؛ ثانیا،ً اگر در جست‌وجوى اهداف معرفت‌شناسى به این نتیجه رسیدیم که هدف معرفت‌شناسى ارائةیک نظام مبناگرایانه از مجموعة گزاره‌هایى است که فرد به آن باور دارد آیا باز هم مى‌توان از کنار پیامدهاى این برهان به سادگی گذشت؟

5ـ3ـ2. پاسخ چهارم

به نظر مى‌رسد همه این پاسخ‌ها بر فرض تمام بودن برهان گودل اقامه شده است و مبناگرا در موقعیتى قرار گرفته که چاره‌اى جز دست شستن از برخى گزاره‌هاى خود ندارد. ولى بد نیست بپرسیم که آیا به راستى برهان گودل بر عدم تمامیت تمام است؟ شاید بتوان با نگاهى دوباره به مراحل دوازده‌گانه برهان به مواردى از ابهام دست یافت.

براى بررسى دقیق این برهان پیش از هر چیز باید میان دو دسته از گزاره‌ها تمایز نهیم: گزاره‌هاى درجة اول و گزاره‌هاى درجة دوم. گزاره‌هاى درجة اول گزاره‌هایى هستند که محمولى را به یک یا مجموعه‌اى از اشیاى خارجى و عینى نسبت مى‌دهند. براى مثال در دانش فیزیک حرکت را به اتم‌هاى یک مولکول، یا وصفى را به یک شى‌ء نسبت می‌دهند. براى مثال مى‌گویند: «آب در دماى معمولى مایع است.» در مقابل، گزاره‌هاى درجة دوم قرار دارند که از اصول حاکم بر گزاره‌هاى درجة اول بحث مى‌کنند؛ مانند: «گزاره‌هاى حاصل از حواس پنج‌گانه خطاپذیر هستند.» روشن است که نسبت دادن حرکت، وزن، جاذبه و... به اشیا در دانش فیزیک منوط به معرفت‌بخش بودن حواس پنج‌گانه است. از این روی، گزاره‌هاى درجة دوم ناظر به گزاره‌هاى درجة اول و حاکم بر آنها هستند.

نکتة مهم در این تمایز آن است که نباید معیارهاى بررسى صدق و کذب گزاره‌هاى درجة اول را با بررسى صدق و کذب گزاره‌هاى درجة دوم یکى بپنداریم. اگر ملاک ارزیابى مایع بودن یا نبودن آب در دانش فیزیک به ادراک حواس پنج‌گانه بستگى دارد، براى ارزیابى گزاره‌هاى درجة دوم که براى مثال به بررسى اعتبار ادراک حسى مى‌پردازد نمى‌توان به‌خود ادراک حسّى اعتماد کرد، بلکه باید اصول بدیهى عقل را معیار قرار داد. حال گودل در بیان پیچیدة خود مرتکب جهش از احکام گزاره‌هاى درجة اول به احکام گزاره‌هاى درجة دوم شده است، و همین جهش باعث شده تا بیان برهان‌نمای او چیزی نباشد جز یک مغالطه‌.

توضیح آنکه هدف گودل در استفاده از روش عددگذاری آن است که با اختصاص دادن یک عدد به هر فرمولی ضمن آنکه از روشی کاملاً صوری و ریاضی استفاده می‌کند نتیجه بگیرد که چون همة عددها متعلق به یک مجموعه- برای مثال مجموعة عددهای صحیح تعلق دارند، گزاره‌های معادل آنها نیز به یک مجموعه متعلق خواهند بود، و درست در همین مرحله است که گودل مرتکب یک جهش شده و یک عدد خاص را هم به فرمول‌های ناظر به احکام ریاضی اختصاص می‌دهد، و هم به فرمول‌های ناظر به احکام فوق‌ ریاضی، و همان گونه که در مرحلة دهم دیدیم مدعی است که« عدد n هم عددِ فرمول Sub (n ,13, n ) است و هم عددِ فرمول ~Dem (x, Sub (n ,13, n )) (x). بنابراین عددِ هر دو فرمول یکی است» در حالی که احکام فوق ‌ریاضی به مجموعة دیگری اختصاص دارند؛ یعنی مجموعة ناظر مربوط به مجموعة احکام ریاضی، و از همین جهت است که آنها را احکام فوق ‌ریاضی می‌نامند. وقتی احکام فوق‌ ریاضی به مجموعة دیگری تعلق داشتند، اصول خاص خود را خواهند داشت. به تعبیر ساده‌تر می‌توان گفت که در بیان گودل بین احکام در حساب و احکام دربارة حساب خلط شده است.

3. نتیجه‌گیرى

خلاصه آنکه به‌رغم ابتکارى بودن برهان گودل و ابتنای آن بر اصول دقیق منطق و ریاضى، در این برهان تنها بر جنبه‌هاى منطقى و ریاضى مجموعة گزاره‌ها تمرکز شده و حیثیت معرفت‌شناختى رابطة گزاره‌هاى این مجموعه با یکدیگر از نظر دور مانده است و همین امر سبب شده تا با در هم آمیختن احکام گزاره‌هاى درجة اول و گزاره‌هاى درجة دوم، آن را نقدى بر دیدگاه مبناگروى به شمار آورند؛ غافل از اینکه اثبات نادرستى دیدگاه مبناگروى در وهلة اول دامن‌گیر خود برهان گودل نیز خواهد شد؛ چه در این برهان نیز با مجموعه‌اى از گزاره‌ها مواجهیم که یکى بر دیگرى مبتنى است و گزارة مشتمل بر نتیجه بر همة گزاره‌های قبلى.
 

منبع: فصلنامه معرفت فلسفی، سال دوم، شماره 2 (پیاپی 6)، زمستان 1383

پی‌نوشت‌ها
۱. Gödel's theorem

۲. Foundationalism
۳. منصور شمس، آشنایى با معرفت‌شناسى (قم، انجمن معارف اسلامى ایران، ۱۳۸۲) ص ۵۸ـ۵۹.

۴. هم‌اندیشى معرفت‌شناسى، متن پیاده شده سلسله مباحث اساتید محترم: محمدتقى مصباح یزدى، محمد لگنهاوزن، غلامرضا فیاضى و صادق لاریجانى (ایّدهم اللّه)، جلسة یازدهم، ص ۱.
۵. The Encyclopedia Of Philosophy, ed. in chief: Paul Edwards, New York: Macmillan Publishing Co. Inc. & The Fraa Press, ۱۹۶۷, Vol. ۳, p. ۱۳.

۶. Quine, W. V. Ontological Relativity & Other Essays, New York: Columbia University Press, ۱۹۶۹. P. ۷۰: "Moreover, we know from Gödel's work that no consistent axiom system can cover mathematics even when we renounce self-evidence".
۷. Everit, Nicholas & Alec Fishe,Modern. Epistemology, New York: McGraw Hill, Inc. ۱۹۹۵, PP. ۹۸-۹۹.

۸. Dancy, Jonathan & Ernest Sosa, A Companion To Epistemology, Oxford, Blackwell Publishers, ۱۹۹۲, pp. ۱۴۴-۱۴۷.
۹. Smullyan, Raymond M. Godel’s IncompletenssTheorems, New York, Oxford University Press. ۱۹۹۲. P.P. ۵۶-۷۴.

۱۰. برخى وجه تعارض برهان گودل با مبناگروى را این گونه بیان کرده‌اند که با فرض یک مجموعه از گزاره‌ها، باورها یا معرفت‌ها همیشه یک گزاره، باور یا معرفتى وجود خواهد داشت که هم صادق است و هم قابل استنتاج از گزاره‌هاى پایه نیست. براى نمونه مراجعه کنید به:
Everit, Nicholas & Alec Fishe, Modern. Epistemology, McGraw Hill, Inc. New York, ۱۹۹۵. P. ۹۸.

۱۱. براى آگاهى از تقریرهاى مختلف برهان گودل مى‌توانید به این منابع مراجعه کنید:
Smullyan, Raymond M. Godel’s Incompletenss Theorems, New York, Oxford University Press. ۱۹۹۲. P.P. ۵۶-۷۴.

Uspensky, V. A, Gödel's Incompleten