بسم الله الرحمن الرحیم
موضوعی که من روی آن کار می‌کنم بحث منطق‌های پیش‌جدولی در منطق ربط است. ابتدا یک توضیح درباره منطق‌های پیش‌جدولی می‌دهم. منطق‌هایی که در منطق جدید طراحی می‌شوند دو دسته هستند: یا سمانتیک متناهی‌ارزشی دارند و یا سمانتیک متناهی‌ارزشی ندارند. طبیعتاً وقتی سمانتیک متناهی‌ارزشی نداشته باشند، سمانتیک نامتناهی‌ارزشی دارند.
منطق کلاسیک، که امروزه با عنوان «منطق جدید» تدریس می‌شود، منطق دوارزشی است: هر گزاره یا صادق است و یا کاذب، حالت دیگری ندارد. این منطق‌ها چون دوارزشی هستند، متناهی‌ارزشی محسوب می‌شوند. منطق‌هایی که یان لوکاشه‌ویچ، امیل پست و دیگران ساختند منطق سه‌ارزشی بود و علاوه بر صدق و کذب، حالت نامتعین -یا نه صادق و نه کاذب- را هم شامل می‌شد. منطقی که گراهام پریست - که تناقض‌باور است- استفاده می‌کند منطق سه‌ارزشی است که علاوه بر صدق و کذب، ارزش «صدق و کذب با هم» را هم اضافه می‌کند: بعضی گزاره‌ها هستند که متناقض‌اند. بنابراین ما سه دسته گزاره داریم: صادق فقط، کاذب فقط، صادق و کاذب با هم. این هم نوعی منطق متناهی‌ارزشی است.
ولی خیلی از منطق‌ها نامتناهی‌ارزشی هستند. اولین منطق نامتناهی‌ارزشی، منطق شهودگرایانه براور بود که نامتناهی‌ارزشی بودن آن توسط گودل کشف شد. او نشان داد که با هیچ سمانتیک متناهی‌ارزشی نمی‌توان صحت و تمامیت این منطق را اثبات کرد. منطق شهودگرایی از ریاضیات شهودگرایی نشأت گرفته است. ریاضیاتِ شهودگرایی قائل است به اینکه اصل طرد شق ثالث - اینکه هر گزاره یا خودش صادق است و یا نقیض آن- غلط است. چرا می‌گویند این اصل درست نیست؟ چون در مبانی ریاضیات قائل هستند به اینکه صدق و اثبات به یک معناست. ما در ریاضیات چیزی فراتر از اثبات به نام صدق نداریم. ساختارهای ریاضی چیزی است که ما آنها را می‌سازیم. بنابراین صدق در ریاضیات به معنای اثبات است. خیلی از گزاره‌های ریاضی هستند که نه صادق هستند و نه کاذب؛ یعنی نه اثبات‌شده‌اند و نه ابطال‌شده. بنابراین، شهودگرایان اصل طرد شق ثالث را به راحتی کنار می‌گذارند. منطق لوکاشه‌ویچ هم اصل طرد شق ثالث را قبول نمی‌کند اما این منطق برخلاف منطق لوکاشه‌ویچ، نامتناهی‌ارزشی است.
یک دسته از منطق‌ها در میان منطق‌های نامتناهی‌ارزشی هستند که قوی‌ترین منطق‌های نامتناهی‌ارزشی هستند و اگر یک اصل موضوع به این منطق‌ها اضافه کنیم سیستمی به دست می‌آید که متناهی‌ارزشی می‌شود. نمونه خیلی معروف آن، منطق موجهات S5 است که نشان داده شده است که قوی‌ترین منطق نامتناهی‌ارزشی در منطق موجهات است و اگر از این بیشتر پیش برویم وارد منطق‌های متناهی‌ارزشی می‌شویم. به این دلیل که این منطق‌ها جدول‌ارزش متناهی ندارند، اسم اینها را «پیش‌جدولی» گذاشته‌اند. اهمیت اینها در این است که در مرز متناهی و نامتناهی قرار دارند؛ از همۀ نامتناهی‌ها قوی‌تر هستند و از همه متناهی‌ها ضعیف‌تر. چون لب مرز هستند اهمیت ویژه‌ای در منطق پیدا می‌کنند.
در منطق‌های غیرربط، منطق‌های پیش‌جدولی زیادی کشف شده است. بعضی منطق‌ها بی‌نهایت منطق پیش‌جدولی بالای سر خود دارند، برخی هم مانند منطق شهودگرایی فقط سه منطق پیش‌جدولی دارند، و منطق موجهات S4 نیز فقط پنج منطق پیش‌جدولی دارد.
در منطق ربط تا سال 1970 اصلاً منطق پیش‌جدولی کشف نشده بود. مایکل دان در 1970 برای اولین بار یک منطق پیش‌جدولی به نام R-Mingle کشف کرد.
تا سال 2008 در منطق ربط هیچ کار جدیدی در این زمینه انجام نشد. تا اینکه کازیم‌یش سویریدویچ اثبات کرد که منطق ربط R در واقع نامتناهی منطق پیش‌جدولی بالای سر خود دارد. این بدان معناست که این منطق، منطق پیچیده‌ای است. بر خلاف منطق‌های ساده یا متناهی‌ارزشی یا منطق‌هایی که تعدادی متناهی منطق پیش‌جدولی بالاتر از خود دارند، منطق ربط R به قدری پیچیده است که بی‌نهایت پیش‌جدولی بالای سر خود دارد.
در سال 2012 دو نفر به نام‌های Galminas و Mersch نشان دادند که یک منطق پیش‌جدولی بالاتر از منطق ربط KR وجود دارد.
منطق KR منطق میانه‌ای است بین منطق ربط و منطق کلاسیک که برخی از نواقص منطق ربط را ندارد و از یک سری جهات، شهودی‌تر است. مثلاً در منطق ربط، قیاس استثنایی منفصل زیر را قبول ندارند: اینکه P یا Q را همراه نقیض P داریم و نتیجه می‌گیریم Q. یعنی از نقیض مقدم فصلی طرف دیگر فصل را نتیجه می‌گیریم. این قیاس استثنایی را «قیاس فصلی» می‌نامند. در منطق ربط قیاس فصلی را قبول نمی‌کنند و می‌گویند این قاعده، اشتباه است. خیلی از اشکالاتی هم که به منطق ربط شده است به دلیل طرد این قاعده است. در منطق KR که یک منطق میانه است قاعده قیاس فصلی پذیرفته می‌شود و یک منطق حد وسطی ساخته می‌شود.
در مورد پیش‌جدولی‌هایی که بالاتر از KR هستند تا سال 2012 هیچ تحقیقی انجام نشده بود. اولین تحقیق، چنان که گفتیم، مربوط به این سال بود که گالمیناس و مرش یک منطق پیش‌جدولی بالاتر از KR پیدا کردند و در مقاله‌ای در Studia Logica منتشر کردند. دومین منطق پیش‌جدولی در اثری از بنده معرفی شد که در سال 2017 در همان نشریه Studia Logica پذیرش گرفت و منتشر شد.
اکنون مهم‌ترین هدف این است که بتوانیم تعداد منطق‌های پیش‌جدولی بالاتر از KR را پیدا کنیم و نشان دهیم که آیا این تعداد متناهی است یا بی‌نهایت. و اگر این تعداد متناهی است، آن منطق‌های پیش‌جدولی کدام‌ها هستند. نشان دادن متناهی یا نامتناهی بودن این تعداد کاری دشوار است. فعلاً ما در آغاز راهیم. تا کنون دو مورد کشف شده و تلاش می‌کنیم تا منطق‌های دیگری را هم کشف کنیم. به نظر من چند مورد دیگر هم قابل اثبات است که در تلاش برای اثبات آنها هستم. این یکی از کارهای من در این قسمت است.
کار دیگری که در این زمینه می‌کنم مربوط است به اینکه این دو مقاله‌ای که تاکنون اثبات و منتشر شده‌اند هر دو سمانتیکی بوده‌اند؛ یعنی از سمانتیک جهان‌های ممکن و جهان‌های غیرممکن برای ساخت این منطق‌ها استفاده کرده‌اند. ولی تا کنون معادل اصل موضوعی اینها را نداشتیم. اینکه نشان دهیم اصول موضوعۀ دو منطق پیش‌جدولی کشف شدۀ بالای KR چه هستند تا کنون صورت نگرفته بود. من نظام‌هایی اصل موضوعی برای این دو منطقی که کشف‌شده‌اند به دست آورده‌ام و در حال کار روی آن هستم تا آماده چاپ شود. این هم دومین بخش کار بنده است.
